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JZOJ4957. 【WC模拟】B君的宴请
2017-01-21 09:56:00      个评论    来源:ZLTJohn的博客  
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题目描述

这里写图片描述

1<=n<=1000000,0<=k<=n

分析

这是一道经典的群论题目。看到本质不同,就应该这样反应了。

旋转和对称相当于置换嘛。那么定义置换为旋转k次后翻不翻转,这个可以构成一个群。大家用burnside引理:

本质不同的方案数

这道题有另一个性质就是旋转k次后翻转等价于对称轴旋转后翻转。

那么大家对旋转和称轴分开做,来求不动点。

旋转:对于旋转次数i的置换f,大家考虑它的不动点求法。如果某种方案是不动的,代表它的第1,i+1,1+2*i…都是一样的,2,i+2,+2*i+2….都一样,依此类推。那么有方法可以证明这样都一样的循环一共有gcd(i,n)个,在此不证明了。设d=gcd(i,n)那么这个f的不动点数量就是在d中选k1=k/(n/d)个点作为留下的座位,且满足那个条件,当然k必须被(n/d)整除,则方案数为
具体的,相当于隔板问题的解法,因为不能连着选,所以先强制删去k1-1个点,而后面减去的是因为头尾不能都留座,否则会让i+1和i都选坐,不合法。

翻转:n和k的奇偶性都讨论一下。因为对称轴可以旋转,大家算一次然后乘上合法的位置数就好。翻转的话,意味着左右都一样,跟上面算法差不多。

最后除以2n就好,就是|G|

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
const int N=1000005,M=1048576+10;
const ll mo=1000000007;
int i,k,k1,siz,n,cnt;
ll fac[N],ans,rev[N];
ll ksm(ll x,int y)
{
    if (y==0) return 1;
    if (y==1) return x;
    ll dur=ksm(x,y/2);
    return dur*dur%mo*ksm(x,y%2)%mo;
}
int gcd(int a,int b)
{
    if (!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
ll c(int n,int m)
{
    if (n<0||m<0||m<n) return 0;
    return fac[m]*rev[n]%mo*rev[m-n]%mo;
}
int main()
{
//  freopen("round.in","r",stdin);
//  freopen("round.out","w",stdout);
    scanf("%d %d",&n,&k);
    fac[0]=1;
    fo(i,1,n)
        fac[i]=((ll)fac[i-1]*i)%mo;
    rev[n]=ksm(fac[n]%mo,mo-2);
    fd(i,n-1,0)
        rev[i]=(ll)rev[i+1]*(i+1)%mo;

    ans=0;
    fo(i,1,n)//for rotate
    {
        siz=gcd(n,i);
        cnt=n/siz;
        if (k%cnt!=0) continue;
        k1=k/cnt;
        ans=(ans+c(k1,siz-(k1-1))-c(k1-2,siz-4-(k1-2-1)))%mo;
    }
    //for split
    if (n%2==1)
    {
        siz=n/2;
        if (k%2==1)
        {
            siz-=2;
            k/=2;
            ans=(ans+c(k,siz-(k-1))*n%mo)%mo;
        }else
        {
            siz--;
            k/=2;
            ans=(ans+c(k,siz-(k-1))*n%mo)%mo;
        }
    }
    else
    {
        if (k%2==0)
        {
            k1=k/2;
            siz=n/2-2;
            ans=(ans+c(k1,siz-(k1-1))*(n/2)%mo)%mo;
        }

        if (k%2==0)
        {
            //tongwei 1
            siz=(n-2)/2-2;
            k1=(k-2)/2;
            ans=(ans+c(k1,siz-(k1-1))*(n/2)%mo)%mo;
            //tongwei 0
            siz=(n-2)/2;
            k1=k/2;
            ans=(ans+c(k1,siz-(k1-1))*(n/2)%mo)%mo;
        }
        else
        {
            //first is 1
            siz=(n-2)/2-1;
            k1=k/2;
            ans=(ans+c(k1,siz-(k1-1))*(n/2)*2%mo)%mo;
        }
    }
    printf("%lld\n",(ans*ksm(2*n,mo-2)%mo+mo)%mo);
    return 0;
}
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